Dans cette activité, nous allons voir comment décomposer une addition en éléments simples. Cet exercice est précieux pour les enfants car il leur permet non seulement de renforcer leurs compréhension du concept de nombres, mais surtout il rends naturel le processus à l’oeuvre dans le calcul mental d’une addition.
En travaillant régulièrement ce type d’exercice, votre enfant développera deux compétences fondamentales :
Exactement comme un muscle qui doit être entraîné chaque jour, la concentration et le calcul mental se développent par la pratique régulière. Cet exercice constitue un excellent moyen d’y parvenir.
En particulier, cet exercice vous apprend à devenir un véritable maître en calcul mental ! Mais avant de passer à la pratique, révisons un peu la théorie.
Par définition, décomposer un nombre, et plus généralement un ensemble de nombres, c’est compter combien de fois chaque classe d’unité est obtenue. Par exemple dans le nombre 3560 on observe la décomposition en élément simple suivante :
3 560 = 3 Milliers et 5 Centaines et 6 Dizaine et 0 Unité
Par ailleurs, je trouve il est important de préciser exactement en quoi l’on souhaite décomposer un nombre, quand on parle de décomposition. Car s’en restreindre, c’est faire les choses bêtement : Imaginez que je vous demande de me traduire un texte écrit en français dans une autre langue… sans vous précisiez la langue.
Maintenant que l’on sait ce que l’on entend par ‘décomposer un nombre en élément simple’, essayons d’observer comment logiciel qui opère les additions dans notre tête.
Par exemple avec l’addition ‘9 + 8’. Ici, la première étape de notre cerveau va être de se ramener à une opération fondamentalement plus simple et succincte :
Comprenant au moins intuitivement les règles de calcul, il sait que ces opérations sont équivalentes, et de manière automatique sa deuxième étage consiste d’aller chercher dans sa mémoire de long terme les résultats respectifs de ‘10 + 8’ et ‘18 - 1’ ce qui donne 17.
Ca c’était une opération simple. Mais comment ça marche avec une addition plus complexe ? Considérons l’addition de ‘35 + 87’. En soi le travail va être similaire dans la mesure où l’idée va être de dénombrer les occurrences de chaque classe d’unité, sauf que cette fois le cerveau ne pouvant se ramener à un problème équivalent forcément plus simple, il ne ne sera pas en mesure de trouver la solution dans sa mémoire de long terme. Il devra utiliser sa mémoire de travail et son logiciel de traitement.
Petite parenthèse : C’est la raison pour laquelle on observe des difficultés à mesure que les opérations gagnent en difficulté. Le cerveau est programmé pour minimiser l’effort, et il lui faut une bonne raison pour augmenter la complexité d’un travail et le pousser en dehors de sa zone de confort, à savoir sa mémoire de long terme.
Bref, dans ce cas particulier, le cerveau va approximativement suivre ces cinq étapes successive :
1. Décomposer toute l’addition en éléments simples :
2. Compter les occurrences de chaque classe d’unité :
3. Si nécessaire, regrouper chaque dizaine dans sa classe d’unité :
4. Si nécessaire, recompter les occurrences de chaque classe d’unité :
5. Traduire la décomposition en nombre :
Finalement, la technique à l’œuvre qui opère dans le calcul mental d’une addition ne fait que dénombrer chaque classe d’unité.
On observe alors l’importance de la progressivité dans le processus d’abstraction : plus on progresse en math, plus l’abstraction est profonde, et plus les fondamentaux doivent être solides.
La théorie étant brièvement révisé, passons sans plus tarder à la pratique.
Le but de l’exercice est très simple. Il suffit de décomposer en éléments simple l’ensemble des additions, et de calculer leurs solution à l’écrit puis mentalement. En d’autres mot, il s’agit d’additionner des nombres en respectant la méthode suivante :
Décomposer l’addition en éléments simples.
Compter les occurrences de chaque classe d’unité.
Si nécessaire, regrouper chaque dizaine dans sa classe d’unité.
Si nécessaire, recompter les occurrences de chaque classe d’unité.
Traduire la décomposition ainsi faite en un nombre.
Et le travail devra être explicitée au propre comme je m’apprête à le montrer avec cet exemples qui nous demande combien font ‘356 + 1904’.
Etape 1 : On décompose l’addition en éléments simples :
Etape 2 : On compte les occurrences de chaque classe d’unité.
Etape 3 : Si nécessaire, on regroupe chaque dizaine dans sa classe d’unité. En particulier on voit que la classe des centaines et des unités est compter plus de 10 fois.
Etape 4 : Si nécessaire, on recompte les occurrences de chaque classe d’unité. En particulier on voit que la classe des millier et des dizaines apparait plusieurs fois.
Etape 5 : On traduit la décomposition faites en un nombre.
De part cette question on observe que la technique utilisée pour additionner mentalement est structurellement différente que celle utilisée pour additionner en posant. Ce qui montre qu’il n’y a pas forcément de contrainte induite entre les deux compétences, et que ces dernières doivent être travaillées de manière indépendante.
C’est la raison pour laquelle, après avoir répondu à quelques-unes des questions de l’écrit, disons cinq, il faut reprendre ces questions et d’appliquer quelques minutes en demandant à ce que la réponse soit calculée mentalement. De plus, en rajoutant quelques opérations supplémentaires aux travaux de l’écrit, afin de rajouter une dimension de difficulté supplémentaire.
Ce travail représente le minimum nécessaire afin d’observer une progression dans la capacité à additionner mentalement des nombres. Cependant, attention, ce n’est pas suffisant pour devenir fort. En effet, le seul exercice n’est pas suffisant pour réussir, seul le jeu de l’addition est de pratiquer encore et encore. Jusqu’à ce que cela devienne un jeu un peu obsédant.